Zu 1: Du hast die Aufgabe so weit schon richtig verstanden. Ich weiß jetzt nicht, welchen Grad deine Funktion haben soll, aber ich bin der Meinung , dass da eine Funktion zweiten Grades am geeignetsten wäre. Diese Funktion sollte dann an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt haben.
Funktionen zweiten Grades haben die Allgemeine Funktionsgleichung
f(x)=ax^2+bx+c. Du musst also drei Unbekannte bestimmen, also benötigst du auch drei Bedingungen. Eine ergibt sich aus der Lage des Tiefpunktes, denn für deinen neue Funktion (ich nenne sie mal h) muss h'(1)=0 gelten (g' ist die erste Ableitung, die sieht so aus: h'(x)=2ax+b).
Dann sollte g die Funktion f auch noch an zwei Stellen schneiden, weil es ja eine Straße darstellen soll. Also stellst du noch z.B. die Bedingungen h(0)=g(0)=0 und h(2)=f(2)=2 auf. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen musst, um die Koeffizienten a,b und c zu erhalten.
(Um das ganze im Sachzusammenhang sinnvoll zu lösen, müsstest du eigentlich noch mehr Bedingungen aufstellen und hättest folglich auch eine Funktion höheren Grades, aber das erspare ich dir jetzt einfach mal.)
Zu 2.
Ich vermute, du sollst nicht unbedingt einen exakten Wert für das Volumen ausrechnen, sondern eine Formel als Näherung herleiten. Spontan weiß ich leider auch nicht, wie das geht, aber du brauchst auf jeden Fall das Integral der Funktion dafür.