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Rätsel und sonstiges in der Mathematik

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Gwanw:
Ich hab mich mal etwas mit dem Rätsel auseinandergesetzt und hab eine Lösung gefunden, die für jede ganze Zahl und egal wie viele gilt. Jetzt würde mich interessieren, ob es noch weitere gibt, die euch so einfallen, unabhängig von meiner Lösung (sicher gibt es noch weitere, aber wieviele kommen auf die, das fände ich interessant).

Also, sagt mir mal eure Vorschläge :)

Lugdusch aka RDJ:
Hi, hier mal zwei wirklich ziemlich schwere Aufgaben:
1. Gibt es ein postive ganze Zahl n, für die die Zahl "1...1}n Einsen21...1}n Einsen" eine Primzahl ist? Beweise.
2. Bestimme alle Zahlen, die sich auf genau 2010 Arten als Summe von Zweierpotenzen mit nicht negativen ganzen Zahlen als Exponenten darstellen lassen, wobei in jeder der Summen jede zweierpotenz höchstens dreimal vorkommen darf. Dabei sind zwei Darstellungen als gleich anzusehen, wenn sie sich nur in der Reihenfolge ihrer Summanden unterscheiden. Eine Summe kann auch nur aus einem Summanden bestehen. Die Richtigkeit des Resultats ist zu beweisen.

Ich hab sie noch nicht geknackt, viel Spaß damit.

RDJ

Gwanw:
Das erste kann ich dir leicht beantworten:
Da man, egal wieviele n's man macht, das ganze immer durch n+1 Einsen teilen kann, ist es einfach immer teilbar und keine Primzahl. (Da man immer auf beiden Seiten der Zweier die gleiche Anzahl an Einsern hat, kann man ganz einfach immer eine Zahl mit n+1 vielen Einsen nehmen und sie mit einer Zahl, die genauso viel Stellen hat, aber eben nur am Anfang und am Ende eine Eins multiplizieren, was dann heißt:
1...1*10...+1...1
Das heißt letztlich, dass sich die Einsen dann in der Mitte schneiden/addieren, womit 2 immer in der Mitte steht. So kann man mit jeder Zahl verfahren und für alle Möglichkeiten gibt es keine Primzahl.
Die zweite Aufgabe hab ich noch nicht ganz verstanden, man soll die Möglichkeiten errechnen, womit man Zweierpotenzen miteinander addiert, damit man genau die Zahl(en) herausbekommt, die das ganze mit sich 2010 mal machen lassen (natürlich die Eigenschaften beibehalten, wie jede Potenzart nur 3 mal)??

Lugdusch aka RDJ:
Ah, da hätte ich echt auch drauf kommen können.
Bei der zweiten sollst du ALLE Zahlen rausfinden, die sich auf GENAU 2010 verschiedene Arten aus der Summe verschiedener Zweierpotenzen bilden lassen (halt mit den genauen Voraussetzungen).

RDJ

PS: Hab noch eine:
Gegeben sind 9999 Stäbe mit den Längen 1,2,...,9998,9999. Die Spieler A und B entfernen abwechselnd je einen der Stäbe , wobei A beginnt. Das Spiel endet, wenn nur noch drei Stäbe übrig bleiben. Lässt sich aus diesen ein nicht entartetes (=normales) Dreieck bilden, so hat A gewonnen, andernfalls B. wer kann den gewinn erzwingen?

Gwanw:
A, da er genau gegen B arbeiten kann, indem er immer weiter von den längsten und kürzesten Stäben welche wegnimmt, da er 4998 Stäbe ziehen kann, sollte letztlich ein machbares Dreieck herauskommen.

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