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Hausaufgabenhilfe

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Rohirrim:
Ich entdecke diesen Thread jetzt auch einmal für mich, denn ich habe ein Problem bei meinen Mathehausaufgaben:

1. "Die rechtwinklige Ecke einer Straße soll durch einen Bogen ersetzt werden, um Unfallgefahren zu vermindern. Für die neue Straßenführung soll der Bogen ansetzten an die STraßen, die in einem lokalen Koordinatensystem in der Eunheit km beschrieben werden durch f(x)=x für x >= 1 und g(x)= -x für x <= 1
Bestimmen sie eine geeignete Funktion"

Irgendwie fehlt mit hierfür komplett der Ansatz. Ich habe eine Skizze vor mir, aber ich weiß nicht, wie ich weiter verfahren muss. Ich muss ja irgendwie eine allgemeine FUnktionsgleichung, sowie mehrere Bedingungen aufstellen, aber wie genau ich das in diesem Fall machen soll erschließt sich mir nciht so ganz. Vor allem verstehe ich nicht, wie man die allgemeine Funktionsgleichung aufstellt.

2. Die Fläche zwischen dem rechts abgebildeten Graphen und der x-Achse rotiert um die x-Achse. Berechnen sie näherungsweise das Volumen des entstehenden Rotationskörpers."

Die Skizze kann ich jetzt schlecht abzeichnen, aber darum gehts auch nciht. Ich versetehe allgemein nciht, wie man das Volumen eines Rotationskörepers anhand einer Skizze bestimmen soll, ohne die Funktionsgleichung zu kennen (und aus der Skizze lässt sich auch keine Funktionsgleichung ablesen).

Ich hoffe mir kann jemand weiterhelfen. Danke schonmal im Voraus.

Grüße
Rohirrim

Eandril:
Zu 1: Du hast die Aufgabe so weit schon richtig verstanden. Ich weiß jetzt nicht, welchen Grad deine Funktion haben soll, aber ich bin der Meinung , dass da eine Funktion zweiten Grades am geeignetsten wäre. Diese Funktion sollte dann an der Stelle x=1 einen Tiefpunkt haben.
Funktionen zweiten Grades haben die Allgemeine Funktionsgleichung
f(x)=ax^2+bx+c. Du musst also drei Unbekannte bestimmen, also benötigst du auch drei Bedingungen. Eine ergibt sich aus der Lage des Tiefpunktes, denn für deinen neue Funktion (ich nenne sie mal h) muss h'(1)=0 gelten (g' ist die erste Ableitung, die sieht so aus: h'(x)=2ax+b).
Dann sollte g die Funktion f auch noch an zwei Stellen schneiden, weil es ja eine Straße darstellen soll. Also stellst du noch z.B. die Bedingungen h(0)=g(0)=0 und h(2)=f(2)=2 auf. Daraus ergibt sich ein lineares Gleichungssystem, dass du lösen musst, um die Koeffizienten a,b und c zu erhalten.
(Um das ganze im Sachzusammenhang sinnvoll zu lösen, müsstest du eigentlich noch mehr Bedingungen aufstellen und hättest folglich auch eine Funktion höheren Grades, aber das erspare ich dir jetzt einfach mal.)

Zu 2.
Ich vermute, du sollst nicht unbedingt einen exakten Wert für das Volumen ausrechnen, sondern eine Formel als Näherung herleiten. Spontan weiß ich leider auch nicht, wie das geht, aber du brauchst auf jeden Fall das Integral der Funktion dafür.

Rohirrim:
Danke schonmal für die Hilfe :).

Zu 1: Wie genau kommst du jetzt darauf, dass an der Stelle 1 ein Tiefpunkt sein muss? An der Stelle 1 beginnt doch die Funktion f(x), also eine der STraßen. Müsste der Tiefpunkt nicht an der Stelle 0 sein? Und dann eine weitere Frage: Könnte man dann nciht auch die allgemeine Funktionsgleichung einer ganzrationalen, achsensymetrischen Funktion 4. Grades aufstellen? Also ax^4+bx^s+c? Oder übersehe ich da etwas?

Eandril:
Nein, dein "kritischer Punkt" befindet sich ja bei x=1, denn dort wechselt die Funktion vom fallenden g(x)=-x und dem steigenden f(x)=1. Also muss deine gesuchte Funktion h(x) bis x=1 fallen, und ab da steigen. Also muss h(1) ein Tiefpunkt sein.
Und ja, natürlich könntest du mit den drei Bedingungen auch eine Funktion vierten Grades der Form h(x)=ax^4+bx^2+c aufstellen, allerdings wüsste ich nicht, warum jemand das tun wollen würde... eine vierte Potenz macht das ganze nicht unbedingt einfacher ;)

Rohirrim:
Hmm irgendwie erschließt sich mir das noch nicht ganz. Ich habe hier mal eine provisorische  Skizze mit Paint erstellt:

http://img5.fotos-hochladen.net/uploads/unbenanntd6c8ktmwu5.jpg

Die gesuchte Funktion h soll doch jetzt die beiden Straßen mit einem Bogen verbinden. Wie kann da an der Stelle 1 ein Tiefpunkt sein? Tut mir leid, dass ich so dumm nachfragen muss, aber ich will das endlich mal verstehen ^^.

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