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Hausaufgabenhilfe

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Erzmagier:
Hallo wasauchimmer

Ich weiss ja nicht wie genau eure Vorlesung aufgebaut ist, aber grundsätzlich führst du diesen Beweis am besten durch vollständige Induktion. Für mich war das damals die erste richige Kategorie mathematischer Beweise.
Grundsätzlich greifen Induktionsbeweise immer dann, wenn du etwas für alle natürlichen Zahlen oder von einer beliebigen ganzen Zahl aus für alle ganzen Zahlen bis zur Unendlichkeit beweisen musst. In den ganz einfachen Fällen beweist du die Aussage zuerst für die erste Zahl (z. B. 1), dieser Teil ist meist relativ einfach und wird die Induktionsverankerung genannt. Anschliessend kommst du zum Induktionsschritt (in der Regel der Knackpunkt). Du nimmst an, dass die Aussage für die Zahl z gilt und zeigst, dass die Aussage auch für z + 1 gilt. Somit hast du bereits alle natürlichen Zahlen abgedeckt, denn du hast in der Verankerung ja gezeigt, dass die Aussage für n = 1 wahr ist, aufgrund des Induktionsschrittes gilt sie somit auch für n = 2 und somit für n = 3 usw......
q.e.d.

In deinem Fall hier musst du die Aussage für n Element {0, 1, 2, 3} zeigen, denn 0 und 1 sind gegebene Werte, die nicht aus der Rekursionsormel kommen und abgesehen von denen brauchst du zwei weitere Elemente, da die Rekursionsformel ja nur das übernächste Glied berechnet (du brauchst also die ersten BEIDEN regulär berechneten Werte). Du kannst dir mindestens für das erste Jahr merken, dass alles was du für eine Serie von Zahlen, die Einerschritte auseinander liegen, und von einem Startwert bis zur Unendlichkeit reichen, wahrscheinlich vollständige Induktion wirst anwenden müssen.

Hier noch der Beweis:


Freundliche Grüsse
Erzmagier

Gnomi:
Doch, das macht sogar sehr viel Sinn, ansonsten gäbe es ja auch bei Programmen ein Problem. ;)
Mathematik ist im Grunde so aufgebaut,d ass man sie auch so programmieren könnte.

n ist denke ich ein Element von ganz N, also 0,1,2,3, usw.

Wenn man jetzt dein Gleichungssystem nehmen würde:

F(n)=F(n-1)+6*F(n-2)
F(0)=1
F(1)=3

Jetzt willst du F(1) berechnen. Laut der ersten Gleichung F(n) lässt sich F(1) berechnen als F(0)+6*F(-1).
Jedoch lässt sich F(-1) nicht berechnen => Fehler.

Bei dem Gleichungssystem

F(n+2)=F(n+1)+6*F(n)
F(0)=1
F(1)=3

kann die erste Gleichung nur angesprochen werden, wenn man F(2) oder höher hat, da n nicht negativ ist. Wenn man dann halt F(6) ausrechnen will setzt man eben n=4.
Das klingt vielleicht etwas komisch, jedoch ist das häufig sogar so viel besser.
F(0)=1 und F(1)=3 sind "Nebenbedingungen", die zusätzlich zu der Gleichung gelten und das Lösen vereinfachen. (sowas lernt man dann sehr viel in der Numerik)
Anschließend hat man halt die einzelnen Rechenschritte, wo man z.B. wissen will: Was passiert beim fünften Schritt in der Rechnung? Dafür setzt man dann n=5 (der nullte Schritt wird als Startwert angenommen) und berechnet dann halt F(5+2)=F(7).
Bei deiner Version müsste man halt dann programmieren, dass man für den fünften Schritt n=7 angeben muss.^^

Von daher ist es im Grunde dasselbe (über die Teleskopmethode kann man sie ineinander überführen), jedoch gilt dein Gleichungssystem nur für n>2, das in der Aufgabe gestellte aber für n>=0, also für alle natürlichen Zahlen, was bei olchen Systemen immer erwünscht ist.^^


Bei der Rechnung hat dann Erzmagier es richtig erklärt.
Ich denke jedoch, dass man hier trotzdem nur einen Wert für n berechnen muss und nicht zwei, ich schau mir das morgen aber nochmal an, wenn ich wacher bin.

Erzmagier:
Naja letztlich kann man schon umparametrisieren, man muss es nur durchgehend machen:
F(-1) = 1      und      F(0) = 3
Ansonsten bin ich druchaus der Meinung, dass man die ersten beiden regulären Werte braucht, denn 0 und 1 beziehen sich ja nicht auf die Rekursionsfomel, also müssen wir die auslassen. Und da wir F(n) und F(n+1) für F(n+2) brauchen sollte man sicherlich auch doppelt verankern. Ausserdem schadet es nie, wenn man für einen zusätzlichen Wert verankert.

wasauchimmer:
Danke, Danke für die sehr ausführlichen Antworten: Dass das nach Induktion riecht, war mir schon klar. [ugly]

Aber irgendwie ist es mir trotzdem noch nicht ganz klar:
1.: Für n=0 und n=1 komme ich doch sofort in die Nebenbedingung rein - da komme ich doch gar nicht in die Situation F(-1) bzw. F(-2) berechnen zu müssen? -egal
2.: Wählen wir mal beispielsweise n=2. Dann gilt: F(2+2)=F(4)=81. Für die Gleichung setze ich aber doch auch n=2 ein; also F(2)=3^2=9 ... Und 81=9? Wie gesagt: Müsste man nicht das zu beispielsweise F(n)=3^(n+2) ändern?

Und nochmals danke für eure Bemühungen. Ich bin es einfach nicht aus der Schule gewohnt etwas nicht zu verstehen - Ganz neues Terrain für mich [uglybunti]

Erzmagier:
Läuft vielen so im Studium ;-)

Zu 1.
Naja, ich wollte nur sagen dass du das ganze durchaus umformulieren könntest, allerdings musst du dann so konsequent sein und das überall machen. Das heisst auch die Nebenbedingungen um 2 verscheiben. Aber davon musst du dich nicht irritieren lassen.

Zu 2.
n ist in diesem Fall eben nicht n (so merkwürdig das klingen mag)
Du hast zwei verschiedene Formeln, in der Rekursionsformel berechnest du den übernächsten Wert, als für n=2 berechnest du F(4), wie du korrekt bemerkt hast. Allerdings musst das dann auch in der anderen Formel mit n+2 vergleichen, also 3^4. Du hast in deinem Beitrag den Funktionswert von 4 mit dem Funktionswert von 2 verglichen, der im allgemeinen natürlich nicht gleich ist.
Schau jeweils nur an, was in der Klammer steht, sprich F(dieser Term).

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